IDZ-Ryabushko.ru
Контакты:

FAQОбратная связь

ИДЗ 1.2 Рябушко

Все готовые варианты решений к ИДЗ 1.2 Рябушко А.П. Выберите необходимый вариант из списка.



Образец решения ИДЗ 1.2

Образец типового решения ИДЗ 1.2 к сборнику Рябушко А.П. По данному примеру вы самостоятельно можете решить своё индивидуальное домашнее задание по теме «Определители. Матрицы. Системы линейных алгебраических уравнении».

Задание 1

Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений

Задание 1 к ИДЗ 1.2

Проверить, совместна ли эта система, и в случае совместности решить ее:

  • а) по формулам Крамера;
  • б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);
  • в) методом Гаусса.

► Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера — Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

Матрица А

данной системы и ранг расширенной матрицы
Матрица В
.

Для этого умножим первую строку матрицы В на -2 и сложим со второй, затем умножим первую строку на -3 и сложим с третьей, поменяем местами второй и третий столбцы. Получим:

находим ранг матрицы

Следовательно, rang А = rang В - 3 (т. е. числу неизвестных). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.

а) По формулам Крамера (1.17)

находим ранг матрицы по Крамеру

находим: x1=64/(-16)=-4, x2=-16/(-16)-1, x3 = 32/( -16) = -2;

б) Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме . Решение системы в матричной форме имеет вид . По формуле (1.11) находим обратную матрицу А-1(она существует, так как

Находим обратную матрицу

Решение системы:

Решение системы

Итак, x1 = -4, x2=1, x3=-2;

в) Решим систему методом Гаусса. Исключим x1 из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго, затем первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего:

Решение системы методом Гаусса

Из полученной системы находим x1 = -4, x2=1, x3=-2.

Задание 2

Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений.

система уравнений

Проверить, совместна ли эта система, и в случае совместности решить ее:
  • а) по формулам Крамера;
  • б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);
  • в) методом Гаусса.

► Проверяем совместность системы с помощью теоремы Кронекера — Капелли. В расширенной матрице

Проверяем совместность системы

Теперь ясно, что rang A = 2, rang В = 3. Согласно теореме Кронекера — Капелли, из того, что rang А ≠ rang В, следует несовместность исходной системы.

Задание 3

Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений

однородная система

► Определитель системы
Определитель системы линейных алгебраических уравнений

поэтому система имеет единственное нулевое решение x1=x2=x3 = 0.

Задание 4

Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений

Решить однородную систему

► Так как

Решение
то система имеет бесчисленное множество решений. Поскольку rang А = 2, n = 3, возьмем любые два уравнения системы (например, первое и второе) и найдем ее решение. Имеем:
Имеем

Так как определитель из коэффициентов при неизвестных x1 и x2 не равен нулю, то в качестве базисных неизвестных возьмем x1 и x2 (хотя можно брать и другие пары неизвестных) и переместим члены с x3 в правые части уравнений:

Имеем

Решаем последнюю систему по формулам Крамера (1.17):

Имеем

Отсюда находим, что x1 = -17х3/13, х2=16х3/13. Полагая x3=13k, где k — произвольный коэффициент пропорциональности, получаем решение исходной системы: х1 = -17k, х2 = 16k, x3 = 13k