ИДЗ 4.1 Рябушко

Задания к ИДЗ 4.1

Готовые решения ко всем вариантам ИДЗ 4.1 из первой части сборника индивидуальных домашних заданий Рябушко А.П. Включает подробные ответы, точные расчёты, комментарии. Всё для успешной подготовки и самостоятельной проверки для тех, кто хочет разобраться в теме.

Задание 1. Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы (A, B – точки на кривой; F – фокус; a – большая (действительная) полуось; b – малая (мнимая) полуось; e – эксцентриситет; y = ± k x – уравнения асимптот гиперболы; D – директриса; 2c – фокусное расстояние).

1.1. a) b = 15, F(−10, 0); б) a = 13, b = 14/13; в) D: x = −4.

1.2. a) b = 2, F(4√2, 0); б) a = 7, b = √85/7; в) D: x = 5.

1.3. a) A(3, 0), B(2, √5/3); б) k = 3/4, b = 5/4; в) D: y = −2.

1.4. a) a = √21/5, A(−5, 0); б) A(8√0, 3), B(4√6, 3/2); в) D: y = 1.

1.5. a) 2a = 22, b = √57/11; б) k = 2/3, 2c = 10√13; в) ось симметрии O x и A(27, 9).

1.6. a) b = √15, e = √10/25; б) k = 3/4, 2a = 16; в) ось симметрии O x и A(4, −8).

1.7. a) a = 4, F(3, 0); б) b = 2√10, F(−11, 0); в) D: x = −2.

1.8. a) b = 4, F(9, 0); б) a = 5, b = 7/5; в) D: x = 6.

1.9. a) A(0, 3), B(14/3, 1); б) k = 21/10, b = 11/10; в) D: y = −4.

1.10. a) a = 7/8, A(8, 0); б) A(3, −3/5), B(√13/5, 6); в) D: y = 4.

1.11. a) 2a = 24, b = 22/6; б) k = 2/3, 2c = 10; в) ось симметрии O x и A(−7, −7).

1.12. a) b = 2, b = 5√29/29; б) k = 12/13, 2a = 26; в) ось симметрии O x и A(−5, 15).

1.13. a) a = 6, F(−4, 0); б) b = 3, F(7, 0); в) D: x = −7.

1.14. a) b = 7, F(5, 0); б) a = 11, b = 12/11; в) D: x = 10.

1.15. a) A(−17/3, 1/3), B(21/2, 1/2); б) k = 1/2, e = √5/2; в) D: y = −1.

1.16. a) e = 3/5, A(0, 8); б) A(√6, 0), B(−2√2, 1); в) D: y = 9.

1.17. a) 2a = 22, b = 10/11; б) k = 11/5, 2c = 12; в) ось симметрии O x и A(−7, 5) ИДЗ.

1.18. a) b = 5, b = 12/13; б) k = 1/3, 2a = 6; в) ось симметрии O y и A(−9, 6).

1.19. a) a = 9, F(7, 0); б) b = 6, F(12, 0); в) D: x = −¼.

1.20. a) b = 5, F(−10, 0); б) a = 9, b = 4/3; в) D: x = 12.

1.21. a) A(0, −2), B(15/2, 1); б) k = 2√10/9, e = 11/9; в) D: y = 5.

1.22. a) a = 2/3, A(−6, 0); б) A(1/8, 0), B(20/3, 2); в) D: y = 1.

1.23. a) 2a = 50, b = 3/5; б) k = 29/14, 2c = 30; в) ось симметрии O y и A(4, 1).

1.24. a) b = 2√15, b = 7/8; б) k = 5/6, 2a = 12; в) ось симметрии O y и A(−2, 3).

1.25. a) a = 13, F(−5, 0); б) b = 44, F(−7, 0); в) D: x = −3/8.

1.26. a) b = 7, F(13, 0); б) b = 4, F(−11, 0); в) D: x = 13.

1.27. a) A(−3, 0), B(1, 1/40/3); б) k = √2/3, e = √15/3; в) D: y = 4.

1.28. a) a = 5/6, A(0, −11); б) A(32/3, 1), B(√8, 0); в) D: y = −3.

1.29. a) 2a = 30, a = 17/15; б) k = 17/8, 2c = 18; в) ось симметрии O y и A(4, −10).

1.30. a) b = 2√2, e = 7/9; б) k = √2/2, 2a = 12; в) ось симметрии O y и A(−45, 15).

Задание 2. Записать уравнение окружности, проходящей через указанные точки и имеющей центр в точке A.

2.1. Вершины гиперболы 12x² − 13y² = 156, A(0, −2).

2.2. Вершины гиперболы 4x² − 9y² = 36, A(0, 4).

2.3. Фокусы гиперболы 24y² − 25x² = 600, A(0, −8).

2.4. O(0, 0), A – вершина параболы y² = 3(x − 4).

2.5. Фокусы эллипса 9x² + 25y² = 1, A(0, 6).

2.6. Левый фокус гиперболы 3x² − 4y² = 12, A(0, −3).

2.7. Фокусы эллипса 3x² + 4y² = 12, A – его верхняя вершина.

2.8. Вершина гиперболы x² − 16z² = 64, A(0, −2).

2.9. Фокусы гиперболы 4x² − 5z² = 80, A(0, −4).

2.10. O(0, 0), A – вершина параболы y² = −(x + 5)/2.

2.11. Правый фокус эллипса 33x² + 49y² = 1617, A(1, 7).

2.12. Левый фокус гиперболы 3x² − 5y² = 30, A(0, 6).

2.13. Фокусы эллипса 16x² + 41y² = 656, A – его нижняя вершина.

2.14. Вершина гиперболы 2x² − 9z² = 18, A(0, 4).

2.15. Фокусы гиперболы 5x² − 11z² = 55, A(0, 5).

2.16. B(1, 4), B – вершина параболы y² = (x − 4)/3.

2.17. Левый фокус эллипса 3x² + 7z² = 21, A(−1, −3).

2.18. Левую вершину гиперболы 5x² − 9z² = 45, A(0, −6).

2.19. Фокусы эллипса 24x² − 25z² = 600, A – его верхняя вершина ИДЗ.

2.20. Правую вершину гиперболы 3x² − 16z² = 48, A(1, 3).

2.21. Левый фокус гиперболы 7x² − 9z² = 63, A(−1, −2).

2.22. B(2, −5), A – вершина параболы y² = −2(y + 1).

2.23. Правый фокус эллипса x² + 4z² = 12, A(2, −7).

2.24. Правую вершину гиперболы 40x² − 81z² = 3240, A(−2, 5).

2.25. Фокусы эллипса x² + 10y² = 90, A – его нижняя вершина.

2.26. Правую вершину гиперболы 3x² − 25z² = 75, A(−5, −2).

2.27. Фокусы гиперболы 4x² − 5y² = 20, A(0, −6).

2.28. B(3, 4), A – вершина параболы y² = (x + 7)/4.

2.29. Левый фокус эллипса 13x² + 49y² = 837, A(1, 8).

2.30. Правый фокус гиперболы 57x² − 64z² = 3648, A(2, 8).

Задание 3. Составить уравнение линии, каждая точка M которой удовлетворяет заданным условиям.

3.1. Отстоит от прямой x = −6 на расстоянии в два раза большем, чем от точки A(1, 3).

3.2. Отстоит от прямой x = −2 в два раза дальше, чем от точки A(4, 0).

3.3. Отстоит от прямой y = −2 в три раза дальше, чем от точки A(5, 0).

3.4. Отношение расстояний от M до точек A(2, 3) и B(−1, 2) равно 3/4.

3.5. Сумма квадратов расстояний от M до A(4, 0) и B(−2, 2) равна 28.

3.6. Отстоит от точки A(1, 0) на расстоянии в пять раз меньшем, чем от прямой x = 8.

3.7. Отстоит от A(4, 1) в четыре раза дальше, чем от B(−2, −1).

3.8. Отстоит от x = −5 в три раза дальше, чем от A(6, 1).

3.9. Отстоит от y = 7 в пять раз дальше, чем от A(4, −3).

3.10. Отношение расстояний от M до A(−3, 5) и B(4, 2) равно 1/3.

3.11. Сумма квадратов расстояний от M до A(−5, −1) и B(3, 2) равна 40,5.

3.12. Отстоит от A(2, 1) в три раза дальше, чем от x = −5.

3.13. Отстоит от A(−3, 3) в три раза дальше, чем от B(5, 1).

3.14. Отстоит от x = 8 в два раза дальше, чем от A(−1, 7).

3.15. Отстоит от x = 9 в четыре раза ближе, чем от A(−1, 2).

3.16. Отношение расстояний от M до A(2, −4) и B(3, 5) равно 2/3.

3.17. Сумма квадратов расстояний от M до A(−3, 3) и B(4, 1) равна 31.

3.18. Отстоит от A(0, −5) в два раза ближе, чем от x = 3.

3.19. Отстоит от A(4, −2) в два раза ближе, чем от B(1, 6).

3.20. Отстоит от x = −7 в три раза ближе, чем от A(1, 4).

3.21. Отстоит от x = 14 в два раза ближе, чем от A(2, 3).

3.22. Отношение расстояний от M до A(3, −2) и B(4, 6) равно 3/5.

3.23. Сумма квадратов расстояний от M до A(−5, 3) и B(2, −4) равна 65 ИДЗ.

3.24. Отстоит от A(3, −4) в три раза дальше, чем от x = 5.

3.25. Отстоит от A(5, 7) в четыре раза дальше, чем от B(−2, 1).

3.26. Отстоит от x = 2 в пять раз дальше, чем от A(4, −3).

3.27. Отстоит от x = −7 в три раза ближе, чем от A(3, 1).

3.28. Отношение расстояний от M до A(3, −5) и B(4, 1) равно 1/4.

3.29. Сумма квадратов расстояний от M до A(−1, 2) и B(3, −1) равна 18,5.

3.30. Отстоит от A(1, 5) в четыре раза ближе, чем от x = −1.

4. Построить кривую, заданную уравнением в полярной системе координат.

4.1. ρ = 2 sin 4φ.

4.2. ρ = 2(1 − sin 2φ).

4.3. ρ = 2 sin 2φ.

4.4. ρ = 3 sin 6φ.

4.5. ρ = 2/(1 + cos φ).

4.6. ρ = 3(1 + sin φ).

4.7. ρ = 2(1 − cos φ).

4.8. ρ = 3(1 − cos 2φ).

4.9. ρ = 4 sin 3φ.

4.10. ρ = 4 sin 4φ.

4.11. ρ = 3(cos φ + 1).

4.12. ρ = 1/(2 − sin φ).

4.13. ρ = 5(1 − sin 2φ).

4.14. ρ = 3(2 − cos 2φ).

4.15. ρ = 6 sin 4φ.

4.16. ρ = 2 cos 6φ.

4.17. ρ = 3/(1 − cos 2φ).

4.18. ρ = 2(1 − cos 3φ).

4.19. ρ = 3(1 − cos 4φ).

4.20. ρ = 5(2 − sin φ).

4.21. ρ = 3 sin 4φ.

4.22. ρ = 2 cos 4φ.

4.23. ρ = 4(1 + cos 2φ).

4.24. ρ = 1/(2 − cos 2φ).

4.25. ρ = 4(1 − sin φ).

4.26. ρ = 3(1 + cos 2φ).

4.27. ρ = 3 cos 2φ.

4.28. ρ = 2 sin 3φ.

4.29. ρ = 2/(2 − cos φ).

4.30. ρ = 2 − cos 2φ.

Задание 5. Построить кривую, заданную параметрическими уравнениями на интервале (0, 2π).